El problema consiste en modelar el desplazamiento horizontal de un helicóptero. Este modelo podrá servir en un posterior análisis para el diseño de un regulador que permita el vuelo estacionario automático del helicóptero. Entrada del modelo será la inclinación del helicóptero en la dirección frontal y lateral al movimiento.
En la Ilustración anterior podemos ver en la línea superior los datos de desplazamiento del helicóptero y en la línea inferior vemos los datos de inclinación.
El proceso que modela el movimiento de un vehículo es típicamente no estacionario. Una entrada finita, por ejemplo inclinar un poco el helicóptero hacia un lado, obtiene una salida que crece con el tiempo pues el helicóptero avanza indefinidamente.
En la figura anterior se puede observar como el índice de autocorrelación cae muy lentamente. Esto nos indica que el proceso no es estacionario y se necesitará tomar una diferencia. La segunda gráfica muestra el resultado de la autocorrelación de la serie después de tomar una diferencia. Aunque la serie cae mas rápido que antes se observa que todavía no es suficiente. Por lo tanto tomamos una segunda diferencia. El tercer diagrama se observa que converge con rapidez. por lo tanto no es necesario tomar otra diferencia y podemos considerar el proceso como estacionario.
El orden y tipo de modelo a usar se ha obtenido usando la herramienta de identificación de Matlab. El modelo del helicóptero se sabe que esta correlado con la inclinación del helicóptero en los dos ejes. Es decir que una inclinación a la derecha produce un desplazamiento a la derecha pero también un desplazamiento hacia el frente. Con esta herramienta no se pueden hacer análisis con entradas multivariables por lo que no se pudo usar para obtener el modelo propiamente dicho.
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Las cuatro ilustraciones anteriores representan los diagramas de autocorrelación y correlación parcial de nuestro sistema usando un modelo ARX con diferentes grados de entrada.
Se puede observar en la siguiente ilustración las mismas gráficas superpuestas. Los mejores resultados se obtienen con el modelo ARX(4 2 0).
Después del análisis anterior se escoge como modelo ARX(4,2,0) es decir un modelo con la forma:
En este modelo podemos observar que influyen las dos inclinaciones del helicóptero roll y pitch,
Los coeficientes se han estimado mediante la técnica de mínimos cuadrados con el siguiente programa:
for i=3:size(b_1b_2x)
m(i,:)=[1,b_1b_2x(i-1),b_1b_2x(i-2),roll(i),roll(i-1),pitch(i)];
end
mi=pinv(m);
p=mi*b_1b_2x;
for i=3:size(b_1b_2x)
xp(i)=p(1)+p(2)*b_1b_2x(i-1)+p(3)*b_1b_2x(i-2)+p(4)*roll(i)+p(5)*roll(i-1)+p(6)*pitch(i);
res(i)=xp(i)-b_1b_2x(i);
end
El resultado del modelo obtenido tiene los residuos que se muestran en la primera gráfica de la ilustración anterior. En esta gráfica se pueden observar residuos menores de 5 cm. que es mucho menor que la precisión del GPS con el que se tomaron las medidas. Los análisis de correlación de los residuos tampoco muestran que quede información en ellos.
El modelo ha sido validado con un juego de datos diferente. Este juego de datos ha sido procesado usando el modelo calculado con otros datos. Los residuos se muestran en la ilustración anterior. Se observa que el resultado es bueno y que no hay correlación entre los residuos.
[1] Lennart Ljung: System Identification - Theory For the User, 2nd ed, PTR Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 1999
[2] Tool box de identificación de matlab.
http://www.mathworks.nl/access/helpdesk/help/toolbox/ident/ident_01.html
[3] Instrumentación y control de un helicóptero autónomo
Jorge Artieda Trigueros. Proyecto de final de carrera 2005